notation S

La notation S pour indiquer des sommes est couramment utilisée en mathématiques et particulièrement en statistique.

Elle concerne les sommes de termes, en nombre fini ou infini, indexés par un indice entier en général.

Exemple : 1, 3, …, 2 x i +1, …est la suite des nombres entiers impairs. On la note x₁, x₂, …, x_i , … . Le terme x_i est le i^e nombre impair et est de la forme x_i = 2 x i + 1. On peut définir d’autres suites de nombres entiers ou non, en donnant la formule général du i^e terme :

x_i = 2ⁱ : suite des puissances de 2 (2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …, 2ⁱ, …)

x_i = 1/i : suite des inverses des entiers naturels (1/1, 1/2, 1/3, …, 1/i, … )

Il est classique d’utiliser des points de suspension pour définir la somme des termes d’une suite : ainsi, x₁ + x₂ + … + x₁₈ est la somme des 18 premiers termes de la suite x_i. Mais lorsque les formules deviennent un peu plus longue, cette notation devient malcommode. Il est plus facile de noter :

		18
x1 + x2 + … + x18	=	S	xi
		i = 1

On indique en dessous du symbole S le rang du premier terme considéré, et au-dessus, le rang du dernier terme. Tous les termes intermédiaires sont pros en compte dans la somme. La somme ne commence pas toujours pas x₁ et ne se termine pas nécessairement par un rang spécifié. On peut écrire par exemple :

		q
xp + x p+1 + … + x q	=	S	xi
		i = p

Pour p=1 et q = 18, on retrouve bien entendu la somme précédente.

Les indices peuvent être i, j, k, …, n : cela ne change pas la somme : ce sont des indices « muets ».

		18
x1 + x2 + … + x18	=	S	xj
		j = 1

Cette notation posssède des propriétés qui en facilite l’usage :

x1 + x2 + … + x18	=		[x1 + x2 ] + [x3 + … + x18]
		2			18
	=	S	xj	+	S	xj
		j = 1			j = 3

D’une façon générale :

q			r			r
S	xi	+	S	xi	=	S	xi
i = p			i = q + 1			i = p

Considérons maintenant deux suites x_i et y_i. On a :

		q
xp + xp+1 + … + xq	=	S	xi
		i = p
		q
yp + yp+1 + … + yq	=	S	yi
		i = p

On peut additionner ces équations membre à membre. On aboutit à la relation :

q			q			q
S	xi	+	S	yi	=	S	( xi + yi )
i = p			i = p			i = p

La relation précédente met en évidence une particularité importante de la notation S : la sommation concerne tous les termes placés derrière le symbole S jusqu’au premier signe + ou - à l’extérieur d’une parenthèse. On a donc :

18
S	xi + 3 = ( x1 + x 2 + … + x18 ) + 3
i = 1

alors que :

18
S	(xi + 3) = ( x1 + 3) + ( x 2 + 3 ) + … + (x18 + 3 )
i = 1

On a évidemment, quel que soit le nombre constant k :  :

n
S	k	=	n k
i = 1

On donne ci-dessous quelques sommes remarquables :

n
S	i	=	1 + 2 + 3 + … + n	=	n ( n + 1 ) / 2
i = 1
n
S	i^2	=	1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2	=	n ( n + 1 ) (2 n + 1 ) / 6
i = 1
n
S	i^3	=	1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3	=	[ n ( n + 1 ) / 2 ]^2
i = 1